DIARIO 1 DERIVADA

DERIVADA 25/02/2023

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.¹ Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Dada una función

f

, se puede definir una nueva función que, en cada punto

x

, toma el valor de la derivada

f'(x)

. Esta función se denota

f'

y se denomina función derivada de

f

o simplemente derivada de

f

. Esto es, la derivada de

f

es la función dada por

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Esta función sólo está definida en los puntos del dominio de $�$ donde el límite existe; en otras palabras, el dominio de $�^{'}$ está contenido en el de $�$ .

Ejemplos

Considere la función cuadrática $f(x)=x^{2}$ definida para todo $x\in \mathbb {R}$ . Se trata de calcular la derivada de esta función aplicando la definición

{\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}(2x+h)\\&=2x.\end{aligned}}

Para el caso general

g(x)=x^{n}

tendríamos

g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}

Teniendo en cuenta el teorema del binomio;

(x+h)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}xh^{n-1}+{\binom {n}{n}}h^{n}

Tenemos;

{\begin{aligned}g'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}xh^{n-1}+{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+nx^{n-1}h+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}h^{2}+\cdots +nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+h(nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}h+\cdots +nxh^{n-2}+h^{n-1})-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}h+\cdots +nxh^{n-2}+h^{n-1}=nx^{n-1}\end{aligned}}

REFERENCIAS https://www.google.com/search?q=derivada+en+calculo+diferencial&source=lmns&tbm=vid&bih=617&biw=1366&rlz=1C1ONGR_esMX1022MX1022&hl=es&sa=X&ved=2ahUKEwj674DKkbz9AhX1PkQIHZrACCYQ_AUoAXoECAEQAQ#fpstate=ive&vld=cid:8d834109,vid:uK4-s0ojHFg https://www.google.com/search?q=derivada+de+una+funcion&bih=560&biw=1366&rlz=1C1ONGR_esMX1022MX1022&hl=es&tbm=vid&sxsrf=AJOqlzUD3SIPSHciHkKGYnKYLq7BCtBM-Q%3A1677722482695&ei=cgMAZJmHKvREb8kPIPhJmfqAE&oq=derivada++DE+UNA+FU&gs_lcp=Cg1nd3Mtd2l6LXZpZGVvEAEYADIFCAAQgAQyBQgAEIAEMgUIABCABDIFCAAQgAQyBQgAEIAEMgUIABCABDIFCAAQgAQyBQgAEIAEMgUIABCABDIFCAAQgAQ6BAgjECc6BggAEBYQHjoJCAAQFhAeEPEEOgsIABCABBCxAxCDAToICAAQgAQQsQNQ0gRY5S1g0ThoAHAAeACAAZIBiAG2EZIBBTEzLjEwmAEAoAEBwAEB&sclient=gws-wiz-video#fpstate=ive&vld=cid:81c64995,vid:sR5KYTap0Cg

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

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Lupita Lopez

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